Sabtu, 28 April 2012


Ukuran Statistik

1.         Pendahuluan
Ukuran Statistik :       
1.         Ukuran Pemusatan
                        Bagaimana, di mana data berpusat?
                                               Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean
                                               Median
                                               Modus
                                               Kuartil, Desil, Persentil                                                          
            2.         Ukuran Penyebaran
                        Bagaimana penyebaran data?
                                               Ragam, Varians                                              
                                               Simpangan Baku
                                   
Ukuran Statistik nantinya akan mencakup data :      
1. Ungrouped Data
      2.   Grouped Data

Ungrouped Data         :           Data yang belum dikelompokkan
Grouped Data                         :           Data yang telah dikelompokkan
                                      Tabel Distribusi Frekuensi

Contoh Ungrouped Data        :
Data Nilai Statistika 10 orang  mahasiswa FE-GD
      78              62                    34                    57                    89
      67              55                    75                    73                    56

Contoh Grouped Data
Kelas
Frekuensi
Nilai< 40
15 
60 £ Nilai £ 80
30
40  £ Nilai £ 60
30
Nilai >80
25
Jumlah
100

2.   Ukuran Pemusatan

2.1.      Rata-Rata Hitung
Notasi  :           : rata-rata hitung populasi
                                    : rata-rata hitung populasi
      a. Rata-Rata Hitung untuk Ungrouped Data
            dan                      
    : rata-rata hitung populasi
N  : ukuran Populasi
  : rata-rata hitung sampel
n   : ukuran Sampel
xi   : data ke-i


Contoh :

      Misalkan diketahui Di kota  A hanya terdapat 6 PTS, masing-masing tercatat mempunyai banyak mahasiswa sebagai  berikut :  850, 1100, 1150, 1250, 750, 900
    Berapakah rata-rata banyak mahasiswa PTS di kota A?
Rata-Rata Populasi atau Sampel ?
Jawab:     
=  = 1000

b. Rata-Rata untuk Grouped Data
Nilainya merupakan pendekatan
Biasanya berhubungan dengan rata-rata hitung sampel
   sehingga :      
  : rata-rata hitung sampel
n    : ukuran Sampel
fi    : frekuensi di kelas ke-i
xi   : Titik Tengah Kelas ke-i
Kelas
Titik Tengah Kelas (xi)
Frekuensi (fi)
fi xi
16-23
19.5
10
195
24-31
27.5
17
467.5
32-39
35.5
7
248.5
40-47
43.5
10
435
48-55
51.5
3
154.5
56-63
59.5
3
178.5
Jumlah ()

50
1679
Jawab :   = = 33.58
Selain dengan rumus tersebut, dapat dicari dengan suatu nilai dugaan  (M)
      di : TTKi (xi) - M
Kelas
Titik Tengah Kelas (xi)
M
 di
Frekuensi(fi)        
fi di
16-23
19.5
39.5
-20
10                       
-200
24-31
27.5
39.5
-12
17                       
-204
32-39
35.5
39.5
-  4
7                           
  -28
40-47
43.5
39.5
    4
10                           
   40
48-55
51.5
39.5
  12
3                             
   36
56-63
59.5
39.5
  20
3                              
   60
Jumlah ()

           

    0              
50                        
-296

Jawab :
 =

Catt :         Bagaimana menentukan  M?  

Tidak ada cara khusus! M dapat ditentukan sembarang !
                 
atau
M dapat ditentukan dengan Titik Tengah Kelas (xi)
·      jika banyak kelas (k) ganjil maka ambil (xi) pada kelas ke (kelas yang di tengah-tengah)
                 
·      jika banyak kelas (k) genap maka gunakan (xi) pada kelas ke  dan kelas ke +1 selanjutnya kedua nilai (xi) tersebut dibagi dua




2.2 Modus
      Nilai yang paling sering muncul
      Nilai yang frekuensinya paling tinggi

a. Modus untuk Ungrouped Data

Contoh :    Sumbangan PMI warga Depok
Rp.      7500   8000   9000      8000   3000   5000      8000
                  Modus : Rp. 8000


Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus)
Bisa terjadi data tanpa modus

b. Modus untuk Grouped Data

Kelas Modus :  Kelas di mana Modus berada
                         Kelas dengan frekuensi tertinggi

Modus = TBB Kelas Modus +  i

di mana : 
      TBB : Tepi Batas Bawah
            d1   : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sebelumnya
            d2   : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi                    Kelas sesudahnya
                     i     : interval kelas
Kelas

Frekuensi (fi)
16-23
10
24-31
17
32-39
 7
40-47
10
48-55
 3
56-63
 3
Jumlah ()
50

Kelas Modus = 24 - 31
TBB Kelas Modus = 23.5
i = 8
frek. kelas Modus = 17
frek, kelas sebelum kelas Modus = 10
frek. kelas sesudah kelas Modus = 7
d1   = 17 - 10   =   7
d2   = 17 -   7   = 10

Modus = 23.5 +  8 = 23.5 + 8 =
23.5 + 8 (0.41176...) = 23.5 + 3.2941...=
 26.7941...  » 27

2.3       Median, Kuartil, Desil dan Persentil
a.         Median untuk Ungrouped Data

Median            ®        Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar

Letak Median  ®        Letak Median dalam gugus data yang telah tersortir
Letak Median  =                     n : banyak data
·      Jika banyak data (n) ganjil dan tersortir, maka: 
            Median = Data ke  
·      Jika banyak data (n) genap dan tersortir, maka:
            Median = [Data ke-  + Data ke-( +1)] : 2
Contoh 1 :
Tinggi Badan 5 mahasiswa  :   
1.75                 1.78                1.60                 1.73                 1.78  meter     
Sorted             :1.60    1.73         1.75 1.78     1.78  meter

n = 5                Letak Median =  =  = 3                    
Median = Data ke-3  = 1.75
                       
Contoh 2 :
Tinggi 6 mahasiswa     : 1.60      1.73      1.75    1.78      1.78     1.80  meter (Sorted)
n =  6
Letak Median ®          = = 3.5
Median = (Data ke 3 + Data ke 4) : 2 = (1.75 + 1.78) : 2 = 3.53 : 2 = 1.765
b.         Median, Kuartil, Desil dan Persentil untuk Grouped Data
·      Nilainya merupakan pendekatan

b.1. Median
Median            ®        Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending)
menjadi 2 bagian yang sama besar
Letak Median =                                           n : banyak data
Kelas Median : Kelas di mana Median berada
Kelas Median  didapatkan  dengan membandingkan Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif
Median            =         TBB Kelas Median + i
atau
Median            =         TBA Kelas Median - i
di mana :         TBB    : Tepi Batas Bawah
                          s         : selisih antara Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif 
  sebelum kelas Median    
                       
TBA    : Tepi Batas Atas
                           s’      : selisih antara Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif 
                                       sampai kelas Median
                           i        : interval kelas
                           f M    : Frekuensi kelas Median

Contoh 3 :                                           Kelas Median

Kelas

Frekuensi
Frek. Kumulatif
16 - 23
10
10
24 - 31
17
27
32 - 39
7
34
40 - 47
10
44
48 - 55
3
47
56 - 63
3
50
S
50
----

interval = i = 8
Letak Median =  =  = 25

Median = Data ke-25 terletak di kelas 24-31
 \Kelas Median = 24 - 31
TBB Kelas Median = 23.5                  dan                  TBA Kelas Median = 31.5

f M = 17

Frek. Kumulatif sebelum Kelas Median = 10 ®        s  = 25 - 10 = 15
Frek. Kumulatif sampai Kelas Median = 27   ®        s’ = 27 - 25 = 2
Median            =          TBB Kelas Median + i
=          23.5 + 8               =  23.5 +  8 (0.8823...) 
=          23.5 + 7.0588...           =  30.5588... » 30.6

Median            =          TBA Kelas Median - i
=          31.5 - 8                = 31.5 - 8 (0.1176...)
=          31.5 - 0.9411..             =  30.5588... » 30.6

b.2    Kuartil

Kuartil             ®        Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending)
menjadi 4 bagian yang sama besar

Letak Kuartil ke-1       =

Letak Kuartil ke-2       =  =        ® Letak Median

Letak Kuartil ke-3       =                                                    n : banyak data

Kelas Kuartil ke-q : Kelas di mana Kuartil ke-q berada
Kelas Kuartil ke-q  didapatkan  dengan membandingkan Letak Kuartil ke-q dengan Frekuensi Kumulatif


Kuartil ke-q        =         TBB Kelas Kuartil ke-q + i
atau
Kuartil ke-q     =         TBA Kelas Kuartil ke-q - i
                        q          : 1,2 dan 3
di mana :         TBB    : Tepi Batas Bawah
                          s         : selisih antara Letak Kuartil ke-q dengan Frekuensi Kumulatif 
  sebelum kelas Kuartil ke-q    
                       
TBA    : Tepi Batas Atas
                           s’      : selisih antara Letak Kuartil ke-q dengan Frekuensi Kumulatif 
                                       sampai kelas Kuartil ke-q

                           i        : interval kelas
                           f Q     : Frekuensi kelas Kuartil ke-q
Contoh 4 : Tentukan Kuartil ke-3      

Kelas

Frekuensi
Frek. Kumulatif
16 - 23
10
10
24 - 31
17
27
32 - 39
7
34
40 - 47
10
44
48 - 55
3
47
56 - 63
3
50
S
50
----

                                        Kelas Kuartil ke-3  
interval = i = 8
Letak Kuartil ke-3 =  =  = 37.5

Kuartil ke-3 = Data ke-37.5 terletak di kelas 40 - 47
 \Kelas Kuartil ke-3  = 40 - 47
TBB Kelas Kuartil ke-3 = 39.5                       dan      TBA Kelas Kuartil ke-3 = 47.5

f Q = 10

Frek. Kumulatif sebelum Kelas Kuartil ke-3 = 34      ®        s  = 37.5 - 34 = 3.5
Frek. Kumulatif sampai   Kelas Kuartil ke-3 = 44      ®        s’ = 44 - 37.5 = 6.5
Kuartil ke-3     =         TBB Kelas Kuartil ke-3 + i
=          39.5 + 8              =  39.5 +  8 (0.35) 
=          39.5 + 2.8                    =  42.3
Kuartil ke-3     =         TBA Kelas Kuartil ke-3 - i
=          47.5 - 8               =  47.5 -  8 ( 0.65)
=          47.5 - 5.2                     =  42.3


b.3       Desil

Desil                ®        Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending)
menjadi 10  bagian yang sama besar
Letak Desil ke-1          =
Letak Desil ke-5          =  =        ® Letak Median
Letak Desil ke-9          =                                                    n : banyak data

Kelas Desil ke-d : Kelas di mana Desil ke-d berada
Kelas Desil ke-d  didapatkan  dengan membandingkan Letak Desil ke-d dengan Frekuensi Kumulatif
Desil ke-d          =         TBB Kelas Desil ke-d + i
atau
Desil ke-d        =         TBA Kelas Desil ke-q - i
                        d          : 1,2,3...9

di mana :         TBB    : Tepi Batas Bawah
                          s         : selisih antara Letak Desil ke-d dengan Frekuensi Kumulatif 
  sebelum kelas Desil ke-d    
                       
TBA    : Tepi Batas Atas
                           s’      : selisih antara Letak Desil ke-d dengan Frekuensi Kumulatif 
                                       sampai kelas Desil ke-d

                           i        : interval kelas
                           f D     : Frekuensi kelas Desil ke-d

Tidak ada komentar:

Posting Komentar