Ukuran Statistik
1. Pendahuluan
Ukuran Statistik
:
1. Ukuran Pemusatan
Bagaimana, di mana data
berpusat?
Rata-Rata Hitung =
Arithmetic Mean
Median
Modus
Kuartil, Desil,
Persentil
2. Ukuran
Penyebaran
Bagaimana penyebaran
data?
Ragam, Varians
Simpangan Baku
Ukuran Statistik nantinya akan mencakup data :
1. Ungrouped Data
2. Grouped Data
Ungrouped Data :
Data yang belum dikelompokkan
Grouped Data : Data yang telah dikelompokkan
Tabel
Distribusi Frekuensi
Contoh Ungrouped Data :
Data Nilai Statistika 10 orang mahasiswa FE-GD
78 62 34 57 89
67 55 75 73 56
Contoh Grouped Data
Kelas
|
Frekuensi
|
Nilai< 40
|
15
|
60 £ Nilai £ 80
|
30
|
40 £ Nilai £ 60
|
30
|
Nilai >80
|
25
|
Jumlah
|
100
|
2. Ukuran
Pemusatan
2.1. Rata-Rata
Hitung
Notasi : :
rata-rata hitung populasi
: rata-rata hitung populasi
a.
Rata-Rata Hitung untuk Ungrouped Data
dan
: rata-rata hitung populasi
N : ukuran Populasi
:
rata-rata hitung sampel
n : ukuran Sampel
xi : data ke-i
Contoh :
Misalkan diketahui Di
kota A hanya terdapat 6 PTS,
masing-masing tercatat mempunyai banyak mahasiswa sebagai berikut :
850, 1100, 1150, 1250, 750, 900
Berapakah rata-rata banyak
mahasiswa PTS di kota A?
Rata-Rata
Populasi atau Sampel ?
Jawab:
=
= 1000
b. Rata-Rata untuk Grouped Data
Nilainya merupakan pendekatan
Biasanya berhubungan dengan rata-rata hitung sampel
sehingga :
:
rata-rata hitung sampel
n : ukuran
Sampel
fi : frekuensi di kelas ke-i
xi : Titik Tengah Kelas
ke-i
Kelas
|
Titik Tengah
Kelas (xi)
|
Frekuensi (fi)
|
fi xi
|
16-23
|
19.5
|
10
|
195
|
24-31
|
27.5
|
17
|
467.5
|
32-39
|
35.5
|
7
|
248.5
|
40-47
|
43.5
|
10
|
435
|
48-55
|
51.5
|
3
|
154.5
|
56-63
|
59.5
|
3
|
178.5
|
Jumlah ()
|
|
50
|
1679
|
Jawab :
=
= 33.58
Selain dengan
rumus tersebut, dapat dicari dengan suatu nilai dugaan (M)
di : TTKi (xi) - M
Kelas
|
Titik Tengah
Kelas (xi)
|
M
|
di
|
Frekuensi(fi)
|
fi di
|
16-23
|
19.5
|
39.5
|
-20
|
10
|
-200
|
24-31
|
27.5
|
39.5
|
-12
|
17
|
-204
|
32-39
|
35.5
|
39.5
|
- 4
|
7
|
-28
|
40-47
|
43.5
|
39.5
|
4
|
10
|
40
|
48-55
|
51.5
|
39.5
|
12
|
3
|
36
|
56-63
|
59.5
|
39.5
|
20
|
3
|
60
|
Jumlah ()
|
|
|
0
|
50
|
-296
|
Jawab :
=
Catt : Bagaimana
menentukan M?
Tidak ada cara khusus! M dapat ditentukan sembarang !
atau
M dapat ditentukan dengan Titik Tengah Kelas (xi)
·
jika banyak kelas (k) ganjil
maka ambil (xi)
pada kelas ke
(kelas yang di tengah-tengah)
·
jika banyak kelas (k) genap
maka gunakan (xi)
pada kelas ke
dan kelas ke
+1 selanjutnya kedua nilai (xi) tersebut dibagi dua
2.2 Modus
Nilai yang paling sering
muncul
Nilai yang frekuensinya
paling tinggi
a. Modus untuk Ungrouped Data
Contoh : Sumbangan PMI warga
Depok
Rp. 7500
8000 9000 8000
3000 5000 8000
Modus : Rp.
8000
Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus)
Bisa terjadi data tanpa modus
b. Modus untuk Grouped Data
Kelas Modus : Kelas di mana
Modus berada
Kelas dengan frekuensi tertinggi
Modus = TBB
Kelas Modus + i
|
di mana :
TBB : Tepi Batas Bawah
d1 : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi
Kelas sebelumnya
d2 : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan
Frekuensi Kelas sesudahnya
i
: interval kelas
Kelas
|
Frekuensi (fi)
|
16-23
|
10
|
24-31
|
17
|
32-39
|
7
|
40-47
|
10
|
48-55
|
3
|
56-63
|
3
|
Jumlah ()
|
50
|
Kelas Modus = 24
- 31
TBB Kelas Modus
= 23.5
i = 8
frek. kelas
Modus = 17
frek, kelas
sebelum kelas Modus = 10
frek. kelas
sesudah kelas Modus = 7
d1 = 17 - 10
= 7
d2 = 17 -
7 = 10
Modus = 23.5
+ 8
= 23.5 + 8
=
23.5 + 8 (0.41176...) = 23.5 + 3.2941...=
26.7941... » 27
2.3 Median,
Kuartil, Desil dan Persentil
a. Median
untuk Ungrouped Data
Median ® Nilai yang membagi
gugus data yang telah tersortir (ascending)
menjadi 2 bagian yang sama besar
Letak Median ® Letak Median dalam gugus data yang telah
tersortir
Letak
Median =
n
: banyak data
·
Jika banyak data (n) ganjil dan
tersortir, maka:
Median
= Data ke
·
Jika banyak data (n) genap dan
tersortir, maka:
Median
= [Data ke-
+ Data ke-(
+1)] : 2
Contoh 1 :
Tinggi Badan 5 mahasiswa :
1.75 1.78 1.60 1.73 1.78 meter
Sorted :1.60 1.73 1.75 1.78 1.78
meter
n = 5 Letak
Median =
=
= 3
Median = Data ke-3 = 1.75
Contoh 2 :
Tinggi 6 mahasiswa : 1.60 1.73 1.75 1.78 1.78
1.80 meter (Sorted)
n =
6
Letak Median ®
=
= 3.5
Median = (Data ke 3 + Data ke 4) : 2 =
(1.75 + 1.78) : 2 = 3.53 : 2 = 1.765
b. Median,
Kuartil, Desil dan Persentil untuk Grouped Data
·
Nilainya merupakan pendekatan
b.1. Median
Median ® Nilai yang membagi
gugus data yang telah tersortir (ascending)
menjadi 2 bagian yang sama besar
Letak Median =
n : banyak data
Kelas Median : Kelas di mana Median berada
Kelas Median didapatkan
dengan membandingkan Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif
Median = TBB
Kelas Median + i
atau
Median = TBA
Kelas Median - i
di mana : TBB
: Tepi Batas Bawah
s :
selisih antara Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif
sebelum kelas Median
TBA : Tepi Batas Atas
s’ :
selisih antara Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif
sampai kelas Median
i :
interval kelas
f M : Frekuensi kelas Median
Contoh 3 : Kelas
Median
Kelas
|
Frekuensi
|
Frek. Kumulatif
|
16 - 23
|
10
|
10
|
24 - 31
|
17
|
27
|
32 - 39
|
7
|
34
|
40 - 47
|
10
|
44
|
48 - 55
|
3
|
47
|
56 - 63
|
3
|
50
|
S
|
50
|
----
|
interval = i = 8
Letak Median =
=
= 25
Median = Data ke-25 terletak di kelas 24-31
\Kelas Median = 24 - 31
TBB Kelas Median = 23.5 dan TBA Kelas Median = 31.5
f M = 17
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Median = 10 ® s
= 25 - 10 = 15
Frek. Kumulatif sampai Kelas Median = 27 ® s’ = 27 - 25 = 2
Median = TBB
Kelas Median + i
= 23.5 +
8
=
23.5 + 8 (0.8823...)
= 23.5 +
7.0588... = 30.5588... » 30.6
Median = TBA
Kelas Median - i
= 31.5 -
8
= 31.5 - 8 (0.1176...)
= 31.5 -
0.9411.. = 30.5588... » 30.6
b.2 Kuartil
Kuartil ® Nilai yang membagi gugus
data yang telah tersortir (ascending)
menjadi 4 bagian yang sama besar
Letak Kuartil ke-1 =
Letak Kuartil ke-2 =
=
® Letak Median
Letak Kuartil ke-3 =
n
: banyak data
Kelas Kuartil ke-q : Kelas di mana Kuartil
ke-q berada
Kelas Kuartil ke-q didapatkan
dengan membandingkan Letak Kuartil ke-q dengan Frekuensi Kumulatif
Kuartil
ke-q = TBB Kelas Kuartil ke-q + i
atau
Kuartil
ke-q = TBA Kelas Kuartil ke-q - i
q : 1,2 dan 3
di mana : TBB
: Tepi Batas Bawah
s :
selisih antara Letak Kuartil ke-q dengan Frekuensi Kumulatif
sebelum kelas Kuartil
ke-q
TBA : Tepi Batas Atas
s’ :
selisih antara Letak Kuartil ke-q dengan Frekuensi Kumulatif
sampai kelas Kuartil ke-q
i :
interval kelas
f Q : Frekuensi kelas Kuartil ke-q
Contoh 4 : Tentukan Kuartil ke-3
Kelas
|
Frekuensi
|
Frek. Kumulatif
|
16 - 23
|
10
|
10
|
24 - 31
|
17
|
27
|
32 - 39
|
7
|
34
|
40 - 47
|
10
|
44
|
48 - 55
|
3
|
47
|
56 - 63
|
3
|
50
|
S
|
50
|
----
|
Kelas Kuartil ke-3
interval = i = 8
Letak Kuartil ke-3 =
=
= 37.5
Kuartil ke-3 = Data ke-37.5 terletak di
kelas 40 - 47
\Kelas Kuartil ke-3 = 40 - 47
TBB Kelas Kuartil ke-3 = 39.5 dan TBA Kelas Kuartil ke-3 = 47.5
f Q = 10
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Kuartil ke-3
= 34 ® s = 37.5 - 34 = 3.5
Frek. Kumulatif sampai Kelas Kuartil ke-3 = 44 ® s’ = 44 - 37.5 = 6.5
Kuartil ke-3 = TBB
Kelas Kuartil ke-3 + i
= 39.5 + 8
=
39.5 + 8 (0.35)
= 39.5 + 2.8 = 42.3
Kuartil ke-3 = TBA
Kelas Kuartil ke-3 - i
= 47.5 - 8
=
47.5 - 8 ( 0.65)
= 47.5 - 5.2 = 42.3
b.3 Desil
Desil ® Nilai yang membagi
gugus data yang telah tersortir (ascending)
menjadi 10 bagian yang sama
besar
Letak Desil ke-1 =
Letak Desil ke-5 =
=
® Letak Median
Letak Desil ke-9 =
n
: banyak data
Kelas Desil ke-d : Kelas di mana Desil ke-d
berada
Kelas Desil ke-d didapatkan
dengan membandingkan Letak Desil ke-d dengan Frekuensi Kumulatif
Desil
ke-d = TBB Kelas Desil ke-d + i
atau
Desil
ke-d = TBA Kelas Desil ke-q - i
d : 1,2,3...9
di mana : TBB
: Tepi Batas Bawah
s :
selisih antara Letak Desil ke-d dengan Frekuensi Kumulatif
sebelum kelas Desil
ke-d
TBA : Tepi Batas Atas
s’ :
selisih antara Letak Desil ke-d dengan Frekuensi Kumulatif
sampai kelas Desil ke-d
i :
interval kelas
f D : Frekuensi kelas Desil ke-d
Tidak ada komentar:
Posting Komentar